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拱小六(6)班的博客

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直角坐标轴--郑安博  

2015-05-28 19:33:46|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。相交于原点的两条数轴,构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等,则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系。笛卡尔坐标,它表示了点在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。

笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)(法语:les coordonnées cartésiennes)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴,构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等,则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系,否则称为笛卡尔斜角坐标系。

数学里,笛卡儿坐标系(Cartesian坐标系),也称直角坐标系,是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。在平面内,任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内,任何一点与坐标的对应关系,类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标,几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。

二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定,通常分别称为 x-轴 和 y-轴;两个坐标轴的相交点,称为原点,通常标记为 O ,既有“零”的意思,又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴,决定了一个平面,称为 xy-平面,又称为笛卡儿平面。通常两个坐标轴只要互相垂直,其指向何方对于分析问题是没有影响的,但习惯性地(见图),x-轴被水平摆放,称为横轴,通常指向方;y-轴被竖直摆放而称为纵轴,通常指向方。两个坐标轴这样的位置关系,称为二维的手坐标系,或手系。如果把这个手系画在一张透明纸片,则在平面内无论怎样旋转它,所得到的都叫做手系;但如果把纸片翻转,其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照子时左对掉的性质有关。

为了要知道坐标轴的任何一点,离原点的距离。假设,我们可以刻画数值于坐标轴。那么,从原点开始,往坐标轴所指的方向,每隔一个单位长度,就刻画数值于坐标轴。这数值是 刻画的次数,也是离原点的正值整数距离;同样地,背着坐标轴所指的方向,我们也可以刻画出 离原点的负值整数距离。称 x-轴刻画的数值为 x-坐标,又称横坐标,称 y-轴刻画的数值为 y-坐标,又称纵坐标。虽然,在这里,这两个坐标都是整数,对应于坐标轴特定的点。按照比例,我们可以推广至实数坐标 和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标,标记为 。

任何一个点 P 在平面的位置,可以用直角坐标来独特表达。只要从点 P 画一条垂直于 x-轴的直线。从这条直线与 x-轴的相交点,可以找到点 P 的 x-坐标。同样地,可以找到点 P 的 y-坐标。这样,我们可以得到点 P 的直角坐标。

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension) 。

直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分,称为象限,分别用罗马数字编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ。依照惯例,象限 的两个坐标都是正值;象限 的 x-坐标是负值, y-坐标是正值;象限 的两个坐标都是负值的;象限 的 x-坐标是正值, y-坐标是负值。所以,象限的编号是按照逆时针方向,从象限 编到象限[1]

为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,O叫做坐标原。这样就构成了一个笛卡尔坐标。

笛卡尔和笛卡尔坐标系的产生

据说有一天,法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床,病情很重,尽管如此他还反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程是比较抽象的,能不能把几何图形代数方程结合起来,也就是说能不能用几何图形来表示方程呢?要想达到此目的,关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩,他苦苦思索,拼命琢磨,通过什么样的方法,才能把“点”和“数”联系起来。突然,他看见屋顶角上的一只蛛,拉着丝垂了下来,一会功夫,蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝。蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想,可以把蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来,任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应,同样道理,用一组数(x、y)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示,这就是坐标系的雏形。

直角坐标系的创建,在代数和几何上架起了一座桥梁,它使几何概念用数来表示,几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上,创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何, 他大胆设想:如果把几何图形看成是动点的运动轨迹,就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说,我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹,如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素,把数看作是组成方程的解,于是代数和几何就这样合为一家人了。

仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广

相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系,否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。

笛卡尔坐标,它表示了点在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。举个例子:某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967,那它的X轴坐标就是4+9+3=16,Y轴坐标是4+5+4=13,Z轴坐标是9+6+7=22,因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22),坐标值不可能为负数(因为三个自然数相加无法成为负数)。

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